جادوی اعداد فیبوناچی

خب چرا رياضى ياد مى‌‌گيريم؟ اساسا، بخاطر سه دليل: محاسبه، كاربرد، و آخرى، و متاسفانه كمترين از لحاظ زمانى كه به اون اختصاص مى‌‌ديم، الهام بخش بودن ست.
رياضى علم الگوهاست، و اون را مطالعه مى‌‌كنيم تا ياد بگيريم چطور منطقى، منتقدانه و خلاقانه فكر كنيم، اما بخش خيلى زيادى از رياضى كه تو مدرسه ياد مى‌‌گيريم بطور موثرى برانگيزاننده نيست، و وقتى شاگردهامون مى‌‌پرسند، "چرا اين را ياد مى‌‌گيريم؟" چيزى كه اغلب مى‌‌شنوند اين كه در كلاس رياضى در‌اینده‌‌ پيش رو يا درآزمون آتى لازم ميشه. اما بهترنیست اگر هر از گاهى رياضى را فقط صرف اين انجام بدیم كه جالب يا زيباست يا به اين خاطر كه ذهن را به هيجان مياره؟ الان، آدمهاى زيادى را مى‌‌شناسم كه این فرصت را نداشتن ببین چطور مى‌‌تونه همچین اتفاقی بيفته، خب بگذارید براتون مثالی بزنم از سری اعداد دلخواهم، اعداد فيبوناچى. (تشويق)
آهان! طرفدارهاى فيبوناچى هم كه اينجا هستند. فوق العاده‌ست.
الان این اعداد به طرق مختلف مورد قدرانی قرار می گیرند. از نقطه نظر محاسبه، فهمیدنشون آسان است مثلا یک بعلاوه یک که می‌شود دو. بعد یک بعلاوه دو که می‌شود سه، دو بعلاوه سه پنج میشود، سه بعلاوه پنج هم هشت، و الی آخر. در واقع، شخصی که فیبوناچی می‌نامیم درواقع لئوناردولئوناردوی پیزا نام داشت، و این ارقامی که در کتابش تحت عنوان « محاسبات (Liber abaci) » اومدند به جهان غرب متدهایی از علم حساب را آموزش میداد که امروزه استفاده می‌کنیم. از لحاظ کاربردی، اعداد فیبوناچی اغلب در طبیعت بطرزی شگفت آور ظاهر می‌شوند. تعداد گلبرگهای یک گل عموما عددی فیبوناچی است، یا تعداد مارپیچ‌های روی یک گل آفتاب‌گردان یا يك آناناس همینطور از قاعده سری فیبوناچی پیروی می‌کنند.
در حقیقت، کابردهای خیلی بیشتری دربرگیرنده ارقام فیبوناچی می‌شه، اما چیزی که بیش ازهمه دربارشون میابم الگوهای عددی زیبایی هستند که نمایش می‌دهند. بگذارید براتون یکی از موارد محبوبم را نشان بدم. فرض کنیم شما از محاسبه مربع کامل اعداد خوشتون میاد، و بدون تعارف، کی خوشش نمیاد؟ (خنده)
به این مربع‌های کامل از چند تا عدد اول فيبوناچى نگاه كنيم. خب مربع كامل يك، يك است، مربع كامل دو، چهار ميشه، مربع كامل سه، نه ميشه، پنج هم ميشه ٢٥ و غيره. خب اين شگفت انگيز نيست كه وقتى اعداد متوالى فيبوناچى را جمع كنيد عدد فيبوناچى بعدى را به دست مياريد. اينطور نيست؟ اين طريقى كه اونها خلق ميشوند. اما شما وقتى مربع‌‌هاى كامل را با هم جمع مى‌‌كنيد انتظار نداريد چيز خاصى اتفاق بيفته. اما اين را ببينيد. يك بعلاوه يك، دو را به ما مى‌‌ده، و يك بعلاوه چهار به ما پنج ميده. و چهار بعلاوه نه ميشود ١٣، نه بعلاوه ٢٥ ميشود ٣٤، و بله، این الگو ادامه داره.
در واقع، يكى ديگه هم هست. فرض كنيد كه ميخواستيد مربع‌‌هاى كامل چند تا عدد فيبوناچى اول را جمع كنيد. بگذارييد ببينيم به كجا ميرسيم. خب يك بعلاوه يك بعلاوه چهار، ميشه شش و با اضافه كردن نه به اون، ١٥ حاصل ميشه. ٢٥ اضافه كنيم، ٤٠ حاصل ميشه. با افزودن ٦٤، ١٠٤ بدست مياد. حال به اون اعداد نگاه كنيد. اونها اعداد فيبوناچى نيستند، اگه با دقت بهشون نگاه كنيد، خواهيد ديد كه اعداد فيبوناچى درون اونها مخفى است.
آيا اون را ديديد؟ بهتون نشونش ميدم. شش مساوى دو ضربدر سه است، ١٥ مساوى سه ضربدر پنج، ٤٠ پنج برابر هشت است، دو، سه، پنج، هشت، از كى بايد قدردانى كرد؟
(خنده)
فيبوناچى! البته.
خب، همونقدر كه الان كشف كردن اين الگوها جالبه، فهميدن اين كه چرا اونها حقيقى هستند رضايت بخش‌‌تره. خب به اون معادله آخر نگاه كنيد. چرا بايد مربع كامل يك، يك، دو، سه، پنج و هشت به هشت ضربدر ١٣ بيفزايد؟ با کشیدن یک تصویر ساده نشونتون خواهم داد. با یک مربع یک در یک شروع می‌کنم و بعدش یک مربع یک در یک دیگر می‌گذارم. با هم دیگه، اونها مستطیل یک در دویی را تشکیل می‌دهند. زیر اون، مربع دو در دویی را قرار می‌دم، و بغل اون، یک مربع سه در سه، زیر اون، یک مربع پنج در پنج. و بعديك مربع هشت در هشت يك مستطيل گنده را خلق مى‌‌كند، اينطور نيست؟
خب حالا بگذارييد سوالى ساده ازتون بپرسم: مساحت مستطيل چيه؟ خب، از يك طرف، جمع مساحتهاى مربعهاى داخل اون است، اينطور نيست؟ درست همانطور كه اون را خلق كرديم. یک مربع كامل بعلاوه یک مربع كامل بعلاوه مربع كامل دو بعلاوه مربع كامل سه بعلاوه مربع كامل پنج بعلاوه مربع كامل هشت. اینطور نیست؟ اون مساحت است. از سوى ديگه، چون مستطيل است. مساحت اون برابر حاصلضرب ارتفاع در پايه است، و ارتفاع هم كه هشت است، و مبنا پنج بعلاوه هشت است، كه عدد فيبوناچى بعدى است، يعنى ١٣. نه؟ بنابراين مساحت همچنين هشت در ١٣ است. چون مساحت را به دو روش مختلف به درستى محاسبه كرديم، بايدعددمون یکسان باشه، و بهمين خاطر كه مربع‌‌هاى كامل يك، يك، دو، سه، پنج و هشت تا هشت در ١٣ افزایش پیدا می‌کنند.
خب الان اگر به اين فرايند ادامه بديم، مستطيل‌‌هاىی با اعداد ٢١ در ١٣، ۲۱ در ۳۴ توليد خواهيم كرد و الى آخر.
خب الان اين را امتحان كنيد. اگر ١٣ را تقسيم بر ٨ كنيد، به ١/٦٢٥ مى‌‌رسيد. و اگر عدد بزرگتر را به عدد كوچكتر تقسيم كنيم، اين ضريب‌‌ها به رقمى در حدود ١/٦١٨ نزديك و نزديك‌‌تر مى‌‌شود، كه از سوى خيلى‌‌ها بعنوان ضريب طلايى شناخته مى‌‌شود، رقمى كه رياضيدانها، دانشمندان و هنرمندان را قرنهاست كه مجذوب كرده است.
الان، همه اينها را به شما نشون مى‌‌دم، چون مثل بيشتر رياضى جنبه زيبايى هم داره كه مى‌‌ترسم توجه كافى را در مدارسمون بخودش جلب نكنه. ما زمان زيادى را صرف يادگيرى درباره محاسبه كردن مى‌‌كنيم، اما بياييد كاربرد را فراموش نكنيم، از جمله، شايد، مهمترين كاربرد از همه آنها، ياد بگيريم چطور فكر كنيم.
اگر بتوانم این را در یک جمله خلاصه کنم، این می شود: ریاضیات تنها حل کردن پارامتر مجهول نیست، بلکه پی بردن به دليل اون هم هست.
خیلی خیلی از شما سپاسگذارم.
(تشویق)